Cálculo de probabilidades y aplicación del Teorema de Bayes a una tabla de contingencia que se aprendió a generar en la Primera Unidad.

 

 Cálculo de probabilidades y aplicación del Teorema de Bayes a una tabla de contingencia que se aprendió a generar en la Primera Unidad.

De un estudio realizado a 100 estudiantes sobre el nivel en estadística y la aptitud matemática se genera la siguiente tabla de contingencia:

 

A partir de esta tabla, genere:

1.  La tabla de probabilidad conjunta (que contiene las probabilidades de la intersección de los eventos). A continuaciòn, para mejor entendimiento se definen los eventos de la siguiente forma:

•       A1 es el evento que indica aptitud matemática baja

•       A2 es el evento que indica aptitud matemática media 

•       A3 es el evento que indica aptitud matemática alta 

•       B1 es el evento que indica nivel estadístico bajo

•       B2 es el evento que indica nivel estadístico medio

•       B3 es el evento que indica nivel estadístico alto.

De tal forma que la tabla de probabilidad conjunta contenga las probabilidades conjuntas en cada celda asì: 

 

R// 

Bajo	0.15	0.10	0.05	0.30
Medio	0.05	0.10	0.15	0.30
Alto	0.10	0.15	0.20	0.40
Total	0.30	0.35	0.40	1

Cada celda de la tabla muestra la probabilidad de que un estudiante tenga una combinación específica de aptitud matemática y nivel estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de que un estudiante tenga una aptitud matemática baja y un nivel estadístico bajo es de 0.15, o 15%. La última columna y la última fila muestran las probabilidades totales para cada categoría de aptitud matemática y nivel estadístico.

 

 

 

2.  Con base en la tabla de probabilidad conjunta genere las tablas de probabilidad condicional de filas dado columnas y de columnas dado filas utilizando la fórmula de probabilidad condicional, así:

Nivel estadística	Bajo A1	Medio A2	Alto A3
Bajo B1	0.5000	0.2857	0.1250
Medio B2	0.1667	0.2857	0.3750
Alto B3	0.3333	0.4286	0.5000
Total	1	1	1

 

Nivel estadística	Bajo B1	Medio B2	Alto B3
Bajo A1	0.5000	0.1667	0.2500
Medio A2	0.3333	0.3333	0.3750
Alto A3	0.1667	0.5000	0.5000

 

 

 

Nivel estadistica	Bajo A1	Medio A2	Alto A3
Bajo B1	0.5000	0.2857	0.1250
Medio B2	0.1667	0.2857	0.3750
Alto B3	0.3333	0.4286	0.5000

 

 

Nivel estadistica	Bajo B1	Medio B2	Alto B3
Bajo A1	0.5000	0.1667	0.2500
Medio A2	0.3333	0.3333	0.3750
Alto A3	0.1667	0.5000	0.5000

 

3.  Calcule las siguientes probabilidades:

a.      Si se saca un estudiante al azar y tiene alto nivel en estadística, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una aptitud matemática baja?

b.      La probabilidad de que NO tenga una aptitud baja en matemàticas y un nivel alto en estadística

c.       La probabilidad de que tenga un nivel medio en estadística dado que NO tiene una aptitud alta en matemáticas.

d.      Cual es la probabilidad de NO tener un nivel medio en estadística.

 

R//

a.      Si se saca un estudiante al azar y tiene alto nivel en estadística, la probabilidad de que tenga una aptitud matemática baja P(A1∣B3). Aproximadamente 0.167.

 

b.      Esto se calcularía como la probabilidad complementaria de tener tanto un nivel alto en estadística como una aptitud matemática baja, que es 1−P(A1∩B3) por lo tanto es 0.9.

 

c.       Esto requiere sumar las probabilidades de que tenga un nivel medio en estadística y una aptitud matemática que no sea alta, y luego dividirlo por la probabilidad de no tener una aptitud matemática alta, P(B2∣A1∪A2), por lo tanto, el aproximado es 0.25.

 

d.      Esto es simplemente la probabilidad complementaria de tener un nivel medio en estadística, 1−P(B2), por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante NO tenga un nivel medio en estadística es 0.7.

 

4.  El nivel en estadística depende de la aptitud en matemáticas. Demuestre.

R// Para determinar si el nivel en estadística depende de la aptitud en matemáticas, podemos verificar si las probabilidades condicionales de los niveles en estadística varían con los diferentes niveles de aptitud matemática. Si las probabilidades condicionales son iguales a las probabilidades marginales, entonces los eventos son independientes; si son diferentes, entonces hay dependencia.

En términos de probabilidad:

•       Si los eventos son independientes: P(B∣A)=P(B)

•       Si los eventos son dependientes: P(B∣A) ≠ P(B)

Donde A representa los niveles de aptitud matemática y B los niveles de estadística.

Vamos a comparar las probabilidades condicionales de los niveles de estadística dado un cierto nivel de aptitud matemática con las probabilidades marginales de los niveles de estadística. Si estos no son iguales, podemos concluir que el nivel en estadística depende de la aptitud en matemáticas.

La prueba de independencia muestra que las probabilidades condicionales P(B∣A) no son iguales a las probabilidades marginales P(B) para los diferentes niveles de aptitud matemática. Esto significa que la probabilidad de tener un cierto nivel estadístico varía dependiendo del nivel de aptitud matemática que tenga el estudiante.

Por lo tanto, podemos concluir que hay una dependencia: el nivel en estadística depende de la aptitud en matemáticas. Las probabilidades condicionales para cada nivel de aptitud matemática no son iguales a las probabilidades totales para esos mismos niveles de estadística, lo cual es un indicativo de dependencia entre las variables.